<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html lang="sr">
<head>
  <meta content="text/html; charset=UTF-8" http-equiv="content-type" />
  <title>Статистичка обрада података</title>
  <link rel="stylesheet" href="stil.css" type="text/css" />
  <script src="koren.js"></script>
  <script src="integracija.js"></script>
  <script src="beta.js"></script>
  <script src="gama.js"></script>
  <script src="funkcije.js"></script>
</head>
<body>

<h1>Статистичка обрада података</h1>

<h3>Исходи</h3>

<p>По успешном окончању курса,
очекује се да студенти буду оспособљени да успешно испитују случајне и
масовне појаве у природи и друштву.</p>

<h3>Садржај</h3>

<ol>
  <li>случајне променљиве;</li>
  <li>расподела, дисперзија, одступање;</li>
  <li>груписање и сређивање података;</li>
  <li>мере центрираности и растурање;</li>
  <li>корелација и регресија;</li>
  <li>тестирање хипотеза;</li>
  <li>chi<sup>2</sup> тест независности;</li>
  <li>факторска анализа;</li>
  <li>примена рачунара у статистици.</li>
</ol>

<h2>Случајне променљиве</h2>

<h3>Неке комбинаторне функције</h3>

<h4>Факторијел</h4>
<p>Број низова од n елемената
неког скупа, који има n елемената, зове се факторијел броја n, означава
се са n! и рачуна се
по формули n! = n*(n-1)! = n(n-1)(n-2)...*3*2*1. По договору је 0!=1.
</p>
<form>
 <input name="n" value="4" size="3" />!
 <input value="=" name="o" onclick="obradiFaktorijel(this.form)" type="button" />
 <input name="p" readonly="readonly" />
 <input type="reset" />
</form>
<p>Специјална Gama функција омогућава да се рачунају факторијели
од бројева који нису природни, па чак и од комплексних бројева.
Недавно је разрешен статус хипотезе о тзв. левом факторијелу,
коју је поставио математичар Ђуро Курепа.
</p>
<form>
 Gama(
  <input name="lambda" value="5" size="3" />
 ) <input value="=" name="o" onclick="obradiGama(this.form)" type="button" />
 <input name="gama" readonly="readonly" />
<br>
 GamaNekompletna(lambda,
  <input name="x" value="9" size="3" />
 ) =
 <input name="gamaNekompletna" readonly="readonly" />
<br>
 GamaRegularizovana(lambda,x) =
 <input name="gamaRegularizovana" readonly="readonly" />
<br>
 <input type="reset" />
</form>

<h4>Биномни коефицијент</h4>
<p>Број подскупова са k елемената
неког скупа, који има n елемената, зове се биномни коефицијент n над k.
Биномни коефицијент n над k означаваћемо са binKoef(n,k);
рачуна се по формули binKoef(n,k) = (n/k)*binKoef(n-1,k-1) = n!/(k!*(n-k)!).
По договору је binKoef(n,0) = 1 и binKoef(n,k) = 0 ако је k&lt;0.
Једнакост binKoef(n,k) = 0 је тачна и у случају када је k&gt;n.
</p>
<form>
 binKoef(
  <input name="n" value="6" size="3" />,
  <input name="k" value="4" size="3" />
 )
 <input value="=" name="o" onclick="obradiBinKoef(this.form)" type="button" />
 <input name="p" readonly="readonly" />
 <input type="reset" />
</form>
<p>Обичај је да се биномни коефицијенти представљају у облику таблице
која се зове
<button onclick="prikaziPaskalovTrougao(25)">Паскалов троугао</button>.
Биномни коефицијенти су коефицијенти монома у развоју степена бинома у полином.
На пример,
(p+q)<sup>4</sup> =
1p<sup>4</sup>q<sup>0</sup> +
4p<sup>3</sup>q<sup>1</sup> +
6p<sup>2</sup>q<sup>2</sup> +
4p<sup>1</sup>q<sup>3</sup> +
1p<sup>0</sup>q<sup>4</sup>.
Специјална Beta функција омогућава да се рачунају биномни коефицијенти
од бројева који нису природни:
1 / binKoef(n,k) =
k Beta(n-k+1, k) =
n Beta(n-k, 1+k).
</p>
<form>
 1 / Beta(
  <input name="p" value="3" size="3" />,
  <input name="q" value="4" size="3" />
 ) <input value="=" name="o" onclick="obradiBeta(this.form)" type="button" />
 <input name="beta" readonly="readonly" />
<br>
 1 / BetaNekompletna(p,q,
  <input name="x" value="0.4" size="3" />
 ) =
 <input name="betaNekompletna" readonly="readonly" />
<br>
 BetaRegularizovana(p,q,x) =
 <input name="betaRegularizovana" readonly="readonly" />
<br>
 BetaRegularizovanaInverzna(p,q,
  <input name="y" value="0.7" />
 ) =
 <input name="betaRegularizovanaInverzna" readonly="readonly" />
<br>
 <input type="reset" />
</form>

<h3>Дискретне случајне променљиве</h3>
<p>Дискретнa случајнa променљивa X одређена је
коначним или пребројиво бесконачним скупом исхода
R<sub>X</sub> = {
 x<sub>1</sub>,
 x<sub>2</sub>, ...
}
и скупом вероватноћа
P{X=x<sub>k</sub>}, k=1,2,...
којег зовемо расподела вероватноћа за X.
</p>
<h4>Биномна расподела</h4>
<p>Случајна променљива S<sub>n</sub> са биномном расподелом је број реализација
догађаја A у n поновљених покушаја.
Са p је означена вероватноћа догађаја A, p=P(A).
Ако са q=1-p означимо вероватноћу да се догађај A не реализује,
тада се расподела вероватноћа састоји од монома из развоја полинома
(p+q)<sup>n</sup>, који је једнак 1. На пример,
</p>
<form>
како је вероватноћа догађаја A који представља појаву шестице у једном бацању коцке
p = <input name="p" value="0.1667" size="3" />,
ако се коцка баца
n = <input name="n" value="5" size="3" /> пута,
онда је вероватноћа да се шестица појави тачно
k = <input name="k" value="2" size="3" />
пута једнака
P{S<sub>n</sub>=k} =
 binKoef(n,k)
 p<sup>k</sup>
 q<sup>n-k</sup>
 <input value="=" name="o" onclick="obradiBinomnuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="verovatnoca" readonly="readonly" />.
Кумулативна вероватноћа, тј. вероватноћа да се шестица појави највише k пута је
P{S<sub>n</sub>&lt;=k} =
 <input name="kumulativno" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
</form>

<h4>Хипергеометријска расподела</h4>
<p>Популација од c елемената има a неисправних и b исправних елемената (a+b=c).
На случајан начин се узима без враћања n елемената.
Случајна променљива S је број нађених неисправних елемената међу n изабраних.
Кажемо да S има хипергеометријску расподелу.
</p>
<form>
За c = <input name="c" value="100" size="3" />,
a = <input name="a" value="5" size="3" />,
n = <input name="n" value="15" size="3" /> и
k = <input name="k" value="2" size="3" />
вероватноће су
P{S=k} =
 binKoef(a,k)
 * binKoef(c-a,n-k)
 / binKoef(c,n)
 <input value="=" name="o" onclick="obradiHipergeometrijskuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="verovatnoca" readonly="readonly" /> и
P{S&lt;=k} =
 <input name="kumulativno" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
</form>

<h4>Пуасонова расподела</h4>
<p>Број кварова на машини у току једне године је случајна променљива X
која има Пуасонову расподелу P(lambda).
Овде параметар lambda указује на подложност кваровима.
</p>
<form>
За lambda = <input name="lambda" value="8" size="3" /> и
k = <input name="k" value="5" size="3" />
вероватноће су
P{X=k} =
 e<sup>-lambda</sup>
 lambda<sup>k</sup>/k!
 <input value="=" name="o" onclick="obradiPuasonovuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="verovatnoca" readonly="readonly" /> и
P{X&lt;=k} =
 <input name="kumulativno" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
</form>

<h4>Геометријска (или Паскалова) расподела</h4>
<p>Као и код биномне расподеле понављамо експеримент
 у којем се догађај A реализује са вероватноћом p.
 Случајна променљива X је број потребних понављања експеримента
 да би се догађај A реализовао.
</p>
<form>
За p = <input name="p" value="0.3" size="3" /> и
k = <input name="k" value="5" size="3" />
вероватноће су
P{X=k} =
 (1-p)<sup>k-1</sup>p
 <input value="=" name="o" onclick="obradiGeometrijskuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="verovatnoca" readonly="readonly" /> и
P{X&lt;=k} =
 <input name="kumulativno" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
</form>

<h3>Непрекидне случајне променљиве</h3>
<p>Расподела случајне променљиве X непрекидног типа одређена је
функцијом густине f(x) (probability density function - PDF) и
функцијом расподеле F(x) = P{X&lt;x} (cumulative density function - CDF).
Ове две функције су повезане релацијом F'(x) = f(x),
па је довољно познавати једну од њих.
</p>

<h4>Експоненцијална расподела</h4>
<p>Време рада машине до првог квара је случајна променљива X
са експоненцијалном расподелом E(alfa).
</p>
<form>
За alfa = <input name="alfa" value="1.5" size="3" /> и
x = <input name="x" value="0.5" size="3" /> &gt; 0
вредности функција су
f(x) =
 alfa e<sup>-alfa x</sup>
 <input value="=" name="o" onclick="obradiEksponencijalnuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="pdf" readonly="readonly" /> и
F(x) = P{X&lt;x} =
 1 - e<sup>-alfa x</sup> =
 <input name="cdf" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
</form>

<h4>Униформна расподела</h4>
<p>Случајно изабран реалан број из интервала [a,b] је случајна променљива X
са униформном расподелом U(a,b).
</p>
<form>
Ако су вредности параметара
a = <input name="a" value="0" size="3" /> и
b = <input name="b" value="1" size="3" /> и ако је вредност независно променљиве
x = <input name="x" value="0.5" size="3" /> &isin; [a,b]
вредности функција су
f(x) =
 1/(b-a)
 <input value="=" name="o" onclick="obradiUniformnuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="pdf" readonly="readonly" /> и
F(x) = P{X&lt;x} =
 (x-a)/(b-a) =
 <input name="cdf" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
</form>

<h4>Нормална (или Гаусова) расподела</h4>
<p>Најзначајнија расподела у статистици је нормална расподела X : N(m, sigma<sup>2</sup>).
Расподелу N(0,1) зовемо нормална нормирана расподела.
</p>
<form>
Ако су вредности параметара
m = <input name="m" value="0" size="3" /> и
sigma = <input name="sigma" value="1" size="3" /> и ако је вредност независно променљиве
x = <input name="x" value="0.5" size="3" />, тада је
вредност функције густине
f(x) =
 1/(sqrt(2pi) sigma) exp(-z<sup>2</sup>/2)
 <input value="=" name="o" onclick="obradiNormalnuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="pdf" readonly="readonly" /> при чему је
z = (x-m)/sigma = <input name="z" readonly="readonly" size="3" />,
док је вредност функције расподеле
F(x) = <input name="cdf" readonly="readonly" />
+- <input name="epsilon" value="0.5e-4" size="5" />.
 <input type="reset" />
 (Вредности функције расподеле рачунају се преко некомплетне Гама функције.)
</form>

<h3>Још неке расподеле</h3>
<p>Наводимо још три расподеле случајних променљивих непрекидног типа
које су изведене из Гаусове расподеле и имају примену у статистици
приликом тестирања хипотеза.
</p>

<h4>chi<sup>2</sup> расподела</h4>
<form>
Ако је број степени слободе
n = <input name="n" value="5" size="3" /> и ако је вредност независно променљиве
x = <input name="x" value="12.83" size="3" />, тада је
вредност функције густине
f(x) =
 (x/2)<sup>n/2-1</sup> e<sup>-x/2</sup> / 2<sup>n/2</sup> / Gama(n/2)
 <input value="=" name="o" onclick="obradiChi2Raspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="pdf" readonly="readonly" />,
док је вредност функције расподеле
F(x) = <input name="cdf" readonly="readonly" />
+- <input name="epsilon" value="0.5e-3" size="5" />.
 <input type="reset" />
 (Вредности функције расподеле рачунају се преко некомплетне Гама функције.)
</form>

<h4>Фишерова расподела</h4>
<form>
Ако је
број степени слободе бројиоца k = <input name="k" value="5" size="3" />,
број степени слободе имениоца m = <input name="m" value="2" size="3" />
и ако је вредност независно променљиве
x = <input name="x" value="19.30" size="3" />,
тада је вредност функције густине
f(x) =
 x<sup>k/2-1</sup> (1+x)<sup>-(k+m)/2</sup> / Beta(k/2,m/2)
 <input value="=" name="o" onclick="obradiFiserovuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="pdf" readonly="readonly" />,
док је вредност функције расподеле
F(x) = <input name="cdf" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
 (Вредности ових функција рачунају се преко Beta функције.)
</form>

<h4>Студентова t расподела</h4>
<form>
Ако је
број степени слободе m = <input name="m" value="6" size="3" />
и ако је вредност независно променљиве
x = <input name="x" value="2.4469" size="3" />,
тада је вредност функције густине
f(x) =
 (1+x<sup>2</sup>/m)<sup>-(m+1)/2</sup> / sqrt(m) / Beta(1/2,m/2)
 <input value="=" name="o" onclick="obradiStudentovuRaspodelu(this.form)" type="button" />
 <input name="pdf" readonly="readonly" />,
док је вредност функције расподеле
F(x) = <input name="cdf" readonly="readonly" />.
 <input type="reset" />
 (Вредности ових функција рачунају се преко Beta функције.)
</form>

</body>
</html>
